마찰이 있는 수평면에서 물체와 연결된 용수철을 원래 길이에서 2L만큼 압축하여 물체를 점P에 정지시켰다. 물체가 P에 있을때 용수철에 저장된 퍼텐셜 에너지는 E0이다. 이때 물체를 가만히 놓았더니 물체가 점 q,r를 지나 정지했을때, p와 q사이, q와 r사이의 거리는 각각 2L, L이다. q에서 r까지 운동하는 동안, 물체의 운동에너지 감소량은 용수철에 저장된 탄성 퍼텐셜 에너지 증가량의 7/5배이다. q,r를 지나는 순간 용수철에 저장된 탄성 퍼텐셜 에너지와 물체의 운동 에너지의 합을 각각 E1,E2라 할때 E1-E2는?
주어진 문제를 해결하기 위해서는 물체의 운동 에너지와 용수철에 저장된 탄성 퍼텐셜 에너지의 변화를 분석해야 합니다. 문제의 조건을 정리해보면 다음과 같습니다:
이제 문제를 단계별로 해결해보겠습니다.
점 P에서 Q로 이동할 때, 용수철의 압축량이 ( 2L )에서 ( 0 )으로 변합니다. 이때 용수철에 저장된 탄성 퍼텐셜 에너지는 ( E_0 )에서 ( 0 )으로 변합니다. 따라���, 점 Q에서 물체의 운동 에너지는 ( E_0 )가 됩니다.
점 Q에서 R로 이동할 때, 용수철의 압축량이 ( 0 )에서 ( L )로 변합니다. 이때 용수철에 저장된 탄성 퍼텐셜 에너지는 ( \frac{1}{2}kL^2 )가 됩니다. 여기서 ( k )는 용수철 상수입니다.
문제에서 주어진 조건에 따르면, Q에서 R로 이동하는 동안 물체의 운동 에너지 감소량은 용수철에 저장된 탄성 퍼텐셜 에너지 증가량의 ( \frac{7}{5} )배입니다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같습니다:
[ \Delta K = \frac{7}{5} \Delta U ]
여기서 ( \Delta K )는 운동 에너지의 감소량이고, ( \Delta U )는 탄성 퍼텐셜 에너지의 증가량입니다.
점 Q에서 R로 이동할 때의 에너지 변화�� 계산해보겠습니다.
탄성 퍼텐셜 에너지의 증가량 ( \Delta U )는:
[ \Delta U = \frac{1}{2}kL^2 ]
운동 에너지의 감소량 ( \Delta K )는:
[ \Delta K = \frac{7}{5} \Delta U = \frac{7}{5} \left( \frac{1}{2}kL^2 \right) = \frac{7}{10}kL^2 ]
점 R에서의 운동 에너지는:
[ E_0 - \Delta K = E_0 - \frac{7}{10}kL^2 ]
[ E_1 = E_0 ]
[ E_2 = \left( E_0 - \frac{7}{10}kL^2 \right) + \frac{1}{2}kL^2 = E_0 - \frac{7}{10}kL^2 + \frac{5}{10}kL^2 = E_0 - \frac{2}{10}kL^2 = E_0 - \frac{1}{5}kL^2 ]
[ E_1 - E_2 = E_0 - \left( E_0 - \frac{1}{5}kL^2 \right) = \frac{1}{5}kL^2 ]
따라서, ( E_1 - E_2 )는 ( \frac{1}{5}kL^2 )입니다.